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四元数学习

2017年10月11日 ROS 暂无评论 阅读 88 views 次
摘要:

介绍了四元数的基本概念,还未全部写完。

定义

四元数是由1个实数单位和3个虚数单位\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k},组成并具有下列形式实元的数:

p=p_{0}+\boldsymbol{p}=p_{0}+p_{1}\boldsymbol{i}+p_{2}\boldsymbol{j}+p_{3}\boldsymbol{k}

\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}是直角坐标系中的3个坐标向量。p_{0}为标量部分。

四元数p的共轭定义为:

p^{*}=p_{0}-\boldsymbol{p}=p_{0}-p_{1}\boldsymbol{i}-p_{2}\boldsymbol{j}-p_{3}\boldsymbol{k}

二范数定义为:

\left \| p \right \|=\sqrt{{p_{0}}^{2}+{p_{1}}^{2}+{p_{2}}^{2}+{p_{3}}^{2}}

\left \| p \right \|=1, p为单位四元数。

虚数单位\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k},有如下关系:

ij=k,ji=-k,jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j;

ii=jj=kk=-1;ijk=-1.

 

四则运算

加减法

p\pm q=\left ( p_{0} \pm q_{0} \right )+\left ( \textbf{p}\pm \textbf{q} \right )

乘法的积

pq=\left ( p_{0} +p_{1}\textbf{i}+p_{2}\textbf{j}+p_{3}\textbf{k}\right )\left ( q_{0} +q_{1}\textbf{i}+q_{2}\textbf{j}+q_{3}\textbf{k}\right )=\left ( p_{0} q_{0}- p_{1}q_{1}- p_{2}q_{2}-p_{3} q_{3} \right )+\left ( p_{0}q_{1}+p_{1}q_{0}+p_{2}q_{3}-p_{3}q_{2}\right )+\left ( p_{0}q_{2}+p_{2}q_{0}+p_{3}q_{1}-p_{1}q_{3} \right )+\left ( p_{0}q_{3}+p_{3}q_{0}+p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1} \right )

四元数除法

p的逆p^{-1}:

p^{-1}q=\frac{1}{\left \| p \right \|}p^{*}q.

 

单位四元数的旋转变换

w=p_{0},x=p_{1},y=p_{2},z=p_{3}.

[x,y,z]是单位向量,坐标轴

未完待续

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